Complementary Solution

定义 Definition

complementary solution 常见于数学/工程语境（尤其是常微分方程）：指与某非齐次微分方程对应的齐次方程的解，通常记为 (y_c)。它与特解（particular solution, (y_p)）相加构成通解：(y = y_c + y_p)。在更一般的写作中，也可指“互补性的解决方案”，即用来补足、配合另一方案的方案。

发音 Pronunciation

/ˌkɑːmpləˈmɛntəri səˈluːʃən/ (AmE)
/ˌkɒmplɪˈmɛntəri səˈluːʃən/ (BrE)

例句 Examples

We found the complementary solution of the homogeneous equation first.
我们先求出了对应齐次方程的互补解（齐次解）。

In solving the nonhomogeneous differential equation, the general solution is the sum of the complementary solution and a particular solution that fits the forcing term.
在求解非齐次微分方程时，通解等于互补解（齐次解）与满足外力项的特解之和。

词源 Etymology

complementary 来自拉丁语 complementum（“补足、使完整之物”），引申为“互补的、用于补全的”。solution 来自拉丁语 solutio（“解开、解除”），在数学中指“方程的解”。组合成 complementary solution 时，强调它是“用来与特解一起补全通解的那一部分解”。

相关词 Related Words

• Homogeneous
• Nonhomogeneous
• Differential-Equation
• Particular-Solution
• General-Solution
• Superposition
• Complement
• Synergistic

文学与著作 Literary Works

• Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems（Boyce & DiPrima）中常用 complementary solution 讨论非齐次方程通解结构。
• Advanced Engineering Mathematics（Erwin Kreyszig）在常微分方程章节中使用该术语区分齐次解与特解。
• A First Course in Differential Equations with Modeling Applications（Dennis G. Zill）讲解“通解 = 互补解 + 特解”时频繁出现该表达。